Posso entrar em apartamento abandonado?

Tem problema sim, é considerado invasão, o que nada justifica. Voce pode conseguir localizar a filha através do nome completo ou numero de documentos, há vários aplicativos que conseguem localizar uma pessoa, independente de onde esteja residindo.

Nem o pagamento do IPTU e nem o pagamento do condomínio te darão a propriedade do imóvel. Para que você adquirira a propriedade desse imóvel será preciso cumprir os requisitos para usucapião e nesse meio tempo se a unidade for leiloada para pagar alguma dívida da proprietária ou se a proprietária resolver retomar o imóvel você perde absolutamente tudo o que investiu. E o síndico não poderá fazer um acordo com você no tocante às dívidas condominiais, assim como as concessionárias não vão transferir as contas para o seu nome. O risco é seu.

Não.

No meu entender, sim ! Como você disse "tem uma filha que mora em Portugal. Alguém deve saber o paradeiro dessa filha e sendo assim ela é herdeira da mãe que possui o imóvel. O melhor a se fazer é a localização desta pessoa e fazer os trâmites normais.

Com certeza tem problema, pense que a regra é sempre a mesma, de que não podemos nos apropriar de nada que não nos pertence. As consequências jurídicas e PENAIS virão seguramente.

Não.

Corre um risco, já que o proprietário ou herdeiro legal pode pedir desocupação na justiça.

Sim a proprietária pode voltar a qualquer momento!

De rigor invasão é crime, embora eu nunca tenha visto ninguém ser preso por causa disso. E pagar condomínio e IPTU não dará a você a propriedade do imóvel. Se o que você pretende é usucapião, a ocupação necessária pode chegar a 15 anos, a proprietária será chamada ao processo e se você não conseguir a propriedade você não será ressarcido dos valores que investir.