De quem é a responsabilidades das contas?

O certo é pagar uma pró rata.

Todas as despesas como água luz e IPTU São de responsabilidades do inquilino.

Do inquilino.

Qual seria a conta do mês anterior?
R$ 50,00 juros contratuais, o que diz o contrato a respeito dessa multa?
Condomínio é uma conta que se paga a vencer. Precisa ser mais objetiva em relação as suas dúvidas.

Não é certo, não aceite. O inquilino só deve a partir da data de entrada no imóvel, ou seja, a partir da data que começar a consumir.

O que vale é a data de assinatura do contrato, se assinou já poderia ter pego as chaves. Se a data é do mês anterior, im deverá pagar, porém pode pedir pagamento proporcional as dias que restavam para acabar o mês a partir da assinatura do contrato.

Deve ser analisado a data do contrato e inicio da locação.

O marco não é a sua mudança e sim o dia que as chaves foram disponibilizadas para você. Se você se refere a contas de consumo (luz, água e gás) veja na própria fatura quais os períodos dos consumos e o que foi consumido antes das chaves serem disponibilizadas para você evidente que você não paga.

Totalmente errado. Qualquer despesa, relacionada ao imóvel, anterior ao inicio do contrato de locação é de responsabilidade do proprietário ou do locatário anterior.