Eu devo devolver o primeiro aluguel para inquilina?

Pode sim mas tem que ser proporcional a estadia de 11 dias alugados.

Tem contrato sim e passo a partir de hoje a recomendar que os proprietários que alugam direto comecem a conhecer a lei do inquilinato 8.245/91,as jurisprudências dos tribunais porque locação de imóvel é um negocio como outro qualquer com deveres e obrigações previsto na lei do inquilinato 8.245/91. Não conhecer a lei significa prejuizo no seu bolso se o inquilino não quiser desocupar. O imóvel é seu e faz com ele o que quiser dentro dos limites da lei. Disponibilizou para negócio, a lei deve ser seguida. Seu contrato é VERBAL e previsto no artigo 47 da lei 8.245/91. Se ela não tivesse desocupado você estaria impedida de livremente pedir a desocupação. Sua inquilina mora no imóvel sem contrato escrito e portanto o contrato é prazo indeterminado onde ela é obriga em lei a avisar 30 dias antes que irá desocupar o imóvel. A ausência do aviso te permite cobrar um aluguel a mais dela. Portanto não é você que tem que devolver um valor e sim ela que tem que pagar por não ter te avisado 3 dias antes que iria sair. Se tivesse dado o aviso sairia na data que vence os 30 dias e pagaria o aluguel pró-rata. Mostre a ela a lei e artigo 47 e 6º. Artigo 6º: o lcoatário poderá denunciar a locação pro prazo indeterminado(verbal artigo 47), mediante aviso por escrito ao locador, com antecedência mínima de 30 dias. Parágrafo único: Na ausência do aviso, o locador poderá exigir quantia correspondente a um mês de aluguel e encargos vigentes quando da resilição(término).

Não é necessário fazer a devolução.

Como não existe contrato é difícil dizer, mas acredito que não. A menos que ela ao entrar tenha pago dois alugueis, e um ficou como calção, se não foi isso, não deve devolver nada, afinal ela morou praticamente o mês inteiro no imóvel.

Se não tem contrato amigo fica dificil.

Se não existe contrato, baseado em que ela vai processa-lo? Não vejo o porque devolver o valor recebido.

Devolva apenas a porcentagem do valor no qual ficou faltando do dia 21 até 31.