Condomínio é pago proporcional no 1º mês de locação?

Sim. O condominio é uma despesa corrente. Vc paga pelo mês em curso.

Depende do vencimento.

Sim, mas observe que muitos condomínios são referente ao mês anterior, então não pode cobrar um condomínio do mês não utilizado.

Se você está se referindo ao mês de deposito no começo do contrato não é incluso condomínio.

Geralmente não tem como pagar proporcional, pois é emitido boleto único para a unidade e muitas vezes é emitido referente ao mês posterior para fazer frente as despesas que ainda serão apuradas, tem que consultar a particularidade no seu condomínio.

Não , 30 dias depois.

O valor das despensa do condominiais aos dias em que o inquilino morou no primeiro mês será cobrado na primeira futura do aluguel.

Normalmente o condomínio cobrado em julho pagará as despesas de agosto de forma que não cabe proporcionalidade.

Se a locação foi fechada no dia que a administradora fecha ciclo e inicia o outro sim, caso contrário deverá ser proporcional.