É correto Caixa pedir escritura e registro do imóvel para entregar termo de quitação?

Não.

A Caixa tem cópias de todos os documentos do imóvel, portanto não se faz necessário a solicitação, mas o termo de quitação a Caixa tem obrigação de fornecer.

Não é legal, ela quer confirmar que você continua com o imóvel, se não houve fraude no programa de habitação e se o imóvel está em ordem, não precisaria se preocupar, outra forma de você conseguir o termo de quitação, seria através do aplicativo da habitação, normalmente por lá não solicitam, mas, o banco normalmente não emite o termo, exceto que apresente que realmente é a dona do imóvel e apresente a matricula atualizada.

Sim.

Sim com certeza.

AtÉ o momento da quitação do imóvel, o mesmo estará em nome do Banco como proprietário. Após emitido o termo de quitação, vc precisa passar para o seu nome. .

Negativo. O banco precisa somente do número do contrato ou CPF para que seja liberado o termo de quitação após a quitação constar no banco de dados. Em alguns bancos já é possível solicitar pelo próprio app.

Sim, esse é o procedimento correto.