Devo devolver aluguel a inquilino sem caução?

Veja que é diferente depósito caução e aluguel antecipado de forma que o que foi que vocês contratam? Ainda: qual o prazo contratual e qual a multa para rescisão antecipada? Me parece que ela ainda te deve multa. Em todo caso se ela paga para morar e no dia 20/12 ela pagou o aluguel foi para morar até 20 de janeiro.

Inicialmente pelo exposto me parece ser justa a cobrança da inquilina.

Sim, neste caso ela pagou um mês a mais, não tendo caução o valor deve ser devolvido.

Não devolve.

Ela é que tem que pagar do dia 18 até o dia 22 quando desocupou pois ela pagou para residir e não primeiro residiu e depois pagou. Portanto entrou dia 18 e pagou 30 dias. Saiu dia 22 temos aluguel pró-rata de 18 até 22,mas levando em conta mês com 28 dias e 31 se deixa assim até porque locação residencial não é diária.

Se ela não pagou caução não tem o que você devolver.

Não deve devolver aluguel, pois, ela paga para morar, ela deveria ter pago 20/01 para ter direito ao estorno de aluguel e isso se ela te avisou que sairia do imóvel, o que não faria sentido em pagar como não o fez.