O contrato de locação de imóvel tem que ser registrado em cartório?

De preferencia sim e mais seguro, ou usar assinatura digital.

Não há necessidade de registrar, mas caso tenha problemas mais serio é bom registrar.

Não é obrigatório mas é mais seguro em caso de existir algum problema de uma das partes.

Não. Nenhuma necessidade de gastar dinheiro com um registro que serviria apenas para preservar o documento e torná-lo público. Para preservar o documento, basta guardá-lo em local seguro (onde eventual enchente e crianças não consigam danificá-lo). E nenhuma necessidade de compartilhar com a "geral" um contrato particular entre locador e locatário, certo? Aconselha-se o reconhecimento das assinaturas, mas nem isso é exigência legal.

Não existe a necessidade deste registro.