Meus pais faleceram, devo continuar pagando o IPTU?

Sim.

Sim.

Sim.

SIM.

Sim.

Se não quiser que o imóvel que eles deixaram de herança seja leiloado sim, o IPTU deve ser pago. Já providenciaram o inventário?

IPTU é uma dívida que acompanha o bem, então, sim, deve continuar pagando até o inventário extrajudicial ou judicial ser realizado e liberado a atualização no cadastro da prefeitura no nome do novo proprietário. . .

Claro que deverá sim, ou, correrá o risco de perder o imóvel, é importante já realizar o inventário e definir quem é de quem e o que pertence a quem, para que um só não fique com as contas e outras queiram receber integral depois.

Com certeza. A natureza do IPTU é classificada como "propter rem", isso é inerente a coisa, no caso o imóvel; se vincula ao imóvel. Enquanto existir o imóvel, ele vai sendo tributado. O não pagamento dos débitos pode ocasionar sua execução, e o imóvel ser penhorado, para garantir o pagamento da dívida.