Proprietária pode trocar a imobiliária sem novo contrato?

Sim é possivel.

Você não trás dados suficientes para ser orientada de forma adequada então falando genericamente: tudo depende de como foi o contrato assinado.

A proprietária pode trocar de imobiliária a qualquer tempo, basta avaliar o contrato atual e verificar as clausulas contratuais acordadas entre as partes, as multas rescisões etc.

Dependerá do contrato , alguns modelos caso não tenha solicitação de não continuidade do serviço se renova automaticamente.

Desconheço esse "automático" contudo a relação entre as partes sempre deve ser combinada antes de ir para o papel, inclusive o evento rescisão.

Depende. Se no contrato consta simplesmente que o pagamento será na imobiliária Alfa o locatário não está obrigado a pagar o aluguel na imobiliária Delta. Veja exatamente o que está contratado porque mesmo no prazo indeterminado as cláusulas contratuais continuam valendo.

Dependendo do contexto sim.