O que devo fazer para que o inquilino cumpra com o contrato mesmo que ele já tenha vencido?

Procura um advogado.

É melhor ter flexibilidade e bom senso nessa hora!

O contrato não vence, ele termina e se as partes não se manifestam ele se renova automaticamente. Se o teu contrato tinha prazo de 30 meses ou mais, caso o inquilino não saia no prazo você entra com despejo judicial. Se o contrato inicial tem prazo menor que 30 meses você somente pode pedir o imóvel por denuncia cheia nos casos do artigo 47 da lei 8.245/91. O inquilino poderá não desocupar e na justiça somente nos casos citados você consegue a desocupação.

Contratos vencidos perdem a validade , aceitar o inquilino depois do prazo gera outros reflexos, como renovação automática, em alguns casos, é preciso entender o contexto.

Ação de despejo.

Pedi o despejo judicial.

Ação de despejo.