É possível comprar um imóvel com o documento de desatualizado?

Utilizar a certidão de casamento pois lá esta averbado o divorcio de sua mãe. E como ficou o sobre nome dela.

Não precisa de estar atualizado.

Sim como compradora sim, não seria possível se ela fosse a vendedora.

Se ela é divorciada ela terá que assinar como divorciada. Após casamento uma pessoa não usará mais certidão de nascimento e sim certidão de casamento e após o divórcio haverá averbação do mesmo na certidão de casamento de forma que não é possível sua mãe passar-se por solteira.

Não, os documentos têm que ser atualizados.

Não, se ela se separou, se na certidão de casamento consta a averbação do divorcio e que ela voltara a utilizar nome de solteira, a pessoa com nome de casado não existe mais, ou seja, ou ela compra o imóvel em seu nome por exemplo, ou, deverá procurar a embaixada no país em que reside para solicitar novos documentos.

Tem que trocar sim.