Nome sujo pode alugar apartamento?

Pode.

Nao.

Não pode porque é um risco para o proprietário. E ele pedirá as documentações para fazer uma analise pra saber se a pessoa tem condições de pagar o aluguel. Mas isso vai depender do proprietário.

Dificilmente irá conseguir.

Não, só com o nome limpo.

Em nossa legislação não há nada que impeça uma pessoa com o cpf restrito de fechar um negócio. Porém, o locatário e a imobiliária tem a liberdade de realizar ou não o contrato, baseando-se no princípio de autonomia privada. Ou seja, o locador pode escolher não fechar o contrato caso ele não se sinta seguro.

Locador sim
Locatário com título de capitalização.

Depende exclusivamente da liberalidade do locador.