Cobro aluguel se inquilino so saiu do imóvel depois do vencimento?

Só fazer o cálculo proporcional aos dias que passaram.

Tudo dependera de um acordo entre cavalheiros, se todas a regras do contrato foram respeitadas e existiu esse descumprimento, vc como locador poderá dividir o valor do aluguel por 30 dias e cobrar os dias que excederam ou abonar os dias se assim quiser. Assim acredito que tudo ficará acordado sem que seja preciso acionar a justiça.

A proporcionalidade utilizada nos 5 dias, no meu entender.

Aluguel é proporcional cobra 5 dias.

Deve cobrar proporcional aos dias que o inquilino ficou no imóvel.

Depende a modalidade de recebimento do aluguel. Era mês vencido ou mês a vencer?

R$1.300,00 : por 30 = R$43,33 dia. O inquilino está morando 5 dias além do contrato então pagará R$43,33 x 5 = R$216,65.