Quem tem a obrigação de registrar contrato?

Você.

VOC~E DEVE IR AO CARTÓRIO REGISTRAR A SUA ASSINATURA E PAGAR PELO REGISTRO DA SUA ASSINATURA.

Ela está certa. Você deve arcar com o ônus das despesas para reconhecimento de firma.

Sim, você a locatária deve pagar o reconhecimento de firma, pois, o proprietário está dando a cessão de um imóvel de 200.000 por exemplo, por isso, compete a você fazer o reconhecimento para garantir para a proprietária que você é quem diz que é.

Por lei os custos com contrato sempre será do locador.

AMBAS AS PARTES TEM SUAS OBRIGAÇÕES CADA QUAL FAZ A SUA , QUE É O RECONHECIMENTO DAS ASSINATURAS E CADA UM PAGA A SUA. SIMPLES.

Os dois devem registrar firma.

Qualquer partes que queira legalizar o imóvel.