O inquilino entrou no imóvel dia 01/07 e a data do vencimento é todo dia 10, sendo assim esse mês ele deve pagar o valor proporcional a esses 10 dias, correto?

Exatamente, os 10 dias correspondem ao período do dia 1 ao dia 10.

É preciso analisar o contrato para ver quando o inquilino entrou no imóvel, a partir de quando o contrato teve vigência? Pelo que me parece, esta ministrado do dia 10 ao 10 sub sequente, o que fecham 30 dias. Se assim for, não tem dias proporcionais. Se o contrato começou no dia 01 do mês, fecha dia 30 e se o inquilino precisa ficar mais 10 dias, o mesmo tem até 30 dias após o término do contrato para fazer sua mudança, salvo se for denuncia vazia. Tentei compreender a pergunta da melhor maneira possível. Não da para compreender oque esta acontecendo.

Isso exatamente paga o proporcional.