Quero sair da casa que moro pra alugar outra, porém o locatário quer que eu pague outro valor. Está correto?

Tem que esta especifico em contrato.

Sua pergunta possui dois pontos importantes: até que dia o aluguel deve ser pago e o caução do aluguel. De forma bem resumida: o inquilino deve pagar o aluguel até o dia da entrega de chaves e o depósito dado em caução só deve ser utilizado em situações previstas em lei, como para cobrir danos causados ao imóvel. Se o imóvel for devolvido sem divídas ou avarias, o valor do depósito deve ser devolvido reajustado.

Ví hoje o vídeo falando de atualização de imóvel, gostei muito.

O depósito caução é uma coisa o aluguel mensal é outro. O proprietário não tem o direito de reter o depósito caução na extinção do contrato, desde que os alugueres estejam em dia, caso contrário deduz o que o inquilino deve e devolve o resto.

Locatário é você (o inquilino). O depósito dado em caução não deve ser usado para compensar aluguel. Primeiro você paga todos os dias que morou na casa e só após desocupação e vistoria terá o depósito devolvido a você. Então para te orientar é preciso eu saber o que diz o seu contrato sobre esse valor pago (se é caução ou aluguel antecipado). Outro detalhe: contratos que estejam no prazo indeterminado carecem de aviso antecipado de 30 dias para a saída ou a multa de uma vez o valor do aluguel é devida.

Sim.